Варианты заданий с ответами и решением тестирование проект «Математическая вертикаль» квалификационная работа для учителей математики 22 июня 2024 года. За каждую задачу выставляется 2, 1 или 0 баллов.
В задачах 1–10: 2 балла выставляется за полное обоснованное решение, возможно, с мелкими недочётами; 1 балл выставляется, если или решение доведено до ответа, но допущена одна негрубая ошибка, или в решении имеются значительные продвижения, описанные ниже после ответа к соответствующей задаче; 0 баллов выставляется во всех остальных случаях.
Задания и ответы с 1 варианта
Скачать задания и ответы с 1 варианта
1. Решите уравнение (2x 2 − 3x − 5)√ 2x − 3 = 0.
2. Кандидат в депутаты имеет право на одно бесплатное выступление в газете, увеличивающее число его сторонников на 1000 человек, а также на выступление по радио и телевидению, увеличивающие число сторонников соответственно на 20% и 40% соответственно и ст´oящие 54 и 86 тысяч рублей соответственно. В каком порядке и количестве нужно выступать кандидату в этих средствах массовой информации, чтобы израсходовав не более 200 тысяч рублей, приобрести наибольшее число сторонников?
4. Около четырёхугольника ABCD со сторонами AB = 4, BC = 5, CD = 6 и AD = 3 можно описать окружность. Найдите AC.
5. Можно ли составить бесконечную геометрическую прогрессию, используя различные положительные решения (необязательно все) уравнения sin 1 x = 0? Ответ обоснуйте.
6. Код к сейфу представляет собой последовательность из четырёх различных цифр. За сколько попыток можно гарантировано открыть сейф, если известно, что в коде точно есть цифры 3 и 4?
7. Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна √ 5. Найдите гипотенузу, если один из острых углов треугольника равен 15◦ .
8. Аркадий задумал натуральное число от 1 до 10 и предложил Варваре угадать его, используя не более трёх попыток. Какова вероятность того, что у Варвары это получится?
9. Произведение двух натуральных чисел уменьшили на 26. Затем результат разделили с остатком на сумму исходных чисел, при этом в частном получили 5, а в остатке 60. Найдите исходные числа.
10. Найдите все значения a, при которых наибольшее значение функции f(x) = ax2 − 2x + 6a равно 5.
11. Найдите площадь фигуры, заданной неравенством |x − 2y| + |3x + y| 6 7.
12. Найдите все значения a, при которых уравнение x 10 − a|x| + a 2 − a = 0 имеет единственное решение.
Задания и ответы с 2 варианта
Скачать задания и ответы с 2 варианта
1. Мастер и ученик, работая вместе (каждый на своём станке), изготавливают за 3 часа столько же деталей, сколько мастер в одиночку изготавливает за 4 часа. Сколько времени потребуется ученику, чтобы в одиночку изготовить это же количество деталей?
2. Найдите вероятность того, что наугад взятое двузначное число будет иметь сумму цифр, равную 13.
4. Красная Шапочка испекла пирожки и понесла их бабушке. По дороге ей встретился сначала медведь, потом заяц. Медведю она отдала треть имеющихся у неё пирожков, а зайцу — 12% оставшихся пирожков. Сколько пирожков испекла Красная Шапочка, если их было меньше 100?
5. Найдите на графике уравнения x 2 + y 2 + 6y = 4(x + 3) точку, ближайшую к точке A(8; 5).
6. Решите неравенство |7 − 3x − 5x 2 | 6 1.
7. Величины углов образуют арифметическую прогрессию: 6 ◦ , 13◦ , 20◦ . . . Какое наименьшее число подряд идущих членов этой последовательности, начиная с первого, следует взять, чтобы сумма их косинусов была равна нулю?
8. На прямой отмечено 11 точек, а на параллельной ей прямой — 9 точек. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?
9. Высоты AK и BH остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке O, причём BO : OH = 2 : 1. Найдите BH, если AH = 6, CH = 11.
12. Радиусы двух пересекающихся окружностей равны 13 и 15, а общая хорда равна 24. Найдите расстояние между центрами окружностей.
Задания и ответы с 3 варианта
Скачать задания и ответы с 3 варианта
1. Сколько различных целых значений принимает функция tg x · ctg x + 11 sin x?
2. Игральный кубик бросается дважды. Какие значения может принимать сумма выпавших чисел, если вероятность выпадения этой суммы равна 1 9 ?
3. Найдите наименьшее натуральное число n, при котором значение выражения √ 5n + 2 − √ 5n меньше, чем 0,01.
4. В треугольнике ABC проведена медиана BM. Найдите площадь треугольника ABC, если AB = 7, BC = 8, BM = 5,5.
6. Найдите все целочисленные решения уравнения 6x 2 − 3xy + y 2 = 4.
7. Продолжение высоты BH треугольника ABC пересекает описанную около него окружность в точке D (точки B и D лежат по разные стороны от прямой AC). Градусные меры дуг AD и CD, не содержащие точки B, равны 60◦ и 90◦ соответственно. В каком отношении отрезок BD делится стороной AC?
10. Железные дороги, соединяющие пункты A и B и пункты B и C, — равные отрезки, причём угол ABC равен 60◦ . Из A в B выехал первый поезд, в это же время из B в C выехал второй. Когда первый поезд проехал 100 км, треугольник, вершинами которого являются два поезда и пункт B, в первый раз оказался прямоугольным (поезда и пункты считаются материальными точками). Когда второму поезду останется проехать 30 км до пункта C, указанный треугольник во второй раз станет прямоугольным. Найдите длину AB. (Поезда движутся с постоянными скоростями.)
12. Найдите все натуральные числа, которые делятся на 12 и имеют ровно 6 различных натуральных делителей.
